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Die Leontief Produktionsfunktion, benannt nach dem russischen Wirtschaftwissenschaftler Wassily Leontief, ist ein spezieller Typ der mikroökonomischen Produktionsfunktionen.[1]

Charakteristisch für die Leontief Produktionsfunktion ist die Limitationalität der eingesetzten Produktionsfaktoren. Limitationalität der Produktionsfaktoren bedeutet, dass die Faktoreinsatzmenge in einem eindeutigen Verhältnis zu der geplanten Produktionsmenge steht und keine Substitution möglich ist.[2] Um eine bestimmte Produktionsmenge erzielen zu können werden also genau definierte Mengen verschiedener, genau festgelegter Ressourcen benötigt. Falls eine Ressource in einem nicht ausreichenden Ausmaße vorhanden ist, können keine weiteren Produkte hergestellt werden. [3]

Außerdem bestehen zwischen der Einsatzmenge der Ressourcen und der Ausbringungsmenge (Output) lineare Beziehungen, da das Faktoreinsatzverhältnis für unterschiedliche Ausbringungsmengen identisch ist. Daher spricht man bei der Leontief Produktionsfunktion auch von einer linear-limitationalen Produktionsfunktion.

Die Leontief Produktionsfunktion wird bei jeder „rezeptmäßigen Produktion"(http://de.wikipedia.org/wiki/Leontief-Produktionsfunktion) verwendet, welche branchenübergreifend eingesetzt wird. Sie bildet in der Praxis die Grundlage der Input-Output Analyse.

Die Leontief Produktionsfunktion macht im Gegensatz zu anderen Produktionsfunktionen die entsprechenden Aufwandsfunktionen bzw. Faktorfunktionen zu der Grundlage der Überlegungen. Diese Funktionen geben für eine Endproduktmenge die Faktoreinsatzmengen an, die für eine effiziente Produktion gebraucht werden. Bei anderen Produktionsfunktionen wird diese Rolle von den Ertragsfunktionen übernommen.[4]

Wenn man nun festlegt, dass die Leontief Produktionsfunktion aus nur einem Produktionsverfahren besteht, lässt sie sich für die einstufige Produktion eines Produktes durch das folgende System von Faktorfunktionen darstellen:

r1   =  a1 x

r2   =  a2 x

 .       .                                                  ai > 0

 .       .                                                 a à konstante Produktionskoeffizienten

 .       .

rI  =  aI x

Die dazugehörige Produktionsfunktion lautet:

x  =  ri  /  ai

Als Beispiel wird die Produktion von Kuchen in einer Konditorei genommen:

Man benötigt für die Herstellung eines Kuchens 6 Stk. Eier (r1), 1,5 kg Mehl (r2), 0,8 ltr. Milch (r3) und 0,4 h Zubereitungszeit (r4). Weitere Faktoreinsätze werden vernachlässigt. So ergeben sich für einen linear-limitationalen Fertigungsvorgang folgenden Faktorfunktionen:

r1  =  6 x,                     r2 =  1,5 x,                    r3  =  0,8 x,                  r4   =  0,4 x

Für die Produktionsfunktion wird hieraus abgeleitet:

x  =  ri  /  ai,      i = 1, 2, 3, 4,     mit       r1 / 6     =     r2 / 1,5     =     r3 / 0,8     =     r4 / 0,4.

Diese angegebene Funktion ergibt einen Produktionspfad, der die Produktionsfunktion repräsentiert und an dem die effizienten Endprodukt Kombinationen zu ermitteln sind.

Da die Produktionskoeffizienten a1, a2, a3, a4 konstant sind, gilt für die Produktivität:

x  /  ri  =  1  /  ai            der benötigten Betriebsmittel, Arbeitskräfte und Werksstoffe.[5]

Die Einsatzgüter (Eier, Mehl, Milch, Zubereitungszeit) werden effizient nur in einem konstanten Verhältnis zueinander benötigt. Die Einsatzverhältnisse im oben angeführten Beispiel sind: zwischen Eiern und Mehl 6 / 1,5 = 4, zwischen Eiern und Milch 6 / 0,8 = 7,5, zwischen Eiern und Zubereitungszeit 6 / 0,4 = 15, zwischen Mehl und Milch 1,5 / 0,8 = 1,875, zwischen Mehl und Zubereitungszeit 1,5 / 0,4 = 3,75 und zwischen Milch und Zubereitungszeit 0,8 / 0,4 = 2. Sind die einzusetzenden Faktormengen beschränkt und zwar bei der Höhe , i = 1, 2, 3, 4, so ist die Produktionsmenge ebenfalls beschränkt. Die maximale Produktionsmenge lässt sich durch folgende Formel berechnen:

x = min {  / ai, i = 1, 2, … I } 

Die Produktionsmenge richtet sich also stets nach dem Faktor, der nach dem Input-Output Verhältnis am geringsten vorhanden ist. Bei diesem Faktor spricht man von dem Engpassfaktor. Angenommen es gäbe für das Kuchenbeispiel folgende Höchsteinsatzmengen für die Produktion an einem Tag:

Eier: 140 Stk.

Mehl: 50 kg

Milch: 24 ltr.

Zubereitungszeit: 8 h

Bei diesen Faktoreinsätzen erhält man als maximal mögliche Produktion:

x = min { 140 / 6; 50 / 1,5; 24 / 0,8; 8 / 0,4} = 20

             (      23;      33;          30;       20    )

Die maximale Endproduktmenge lautet in diesem Beispiel: 20 Kuchen. Der Engpassfaktor in diesem Beispiel ist die Zubereitungszeit. Sie ist einziger Engpassfaktor, das heißt, dass es ausreichen würde, diesen Faktor in der Verfügbarkeit zu steigern, um die Produktionsmenge zu erhöhen.[6] In diesem Fall könnte die Konditorei entweder einen weiteren Mitarbeiter einstellen oder den Mitarbeiter Überstunden machen lassen. Wenn man nun die Arbeitszeit für die Zubereitung erhöhen würde, würde früher oder später ein anderer Faktor (ggf. mehrere Faktoren gleichzeitig) zum Engpassfaktor / zu den Engpassfaktoren. In unserem Beispiel würden die Eier anschließend zu dem Engpassfaktor werden, falls man die Arbeitszeit entsprechend (um mindestens 1,5 Stunden) erhöhen würde, denn:

9,5 / 0,4 = 23,75           >          140 / 6 = 23.

An diesem Beispiel kann man gut erkennen, dass die Steigerung der Verfügbarkeitsmenge nur eines Faktors hinsichtlich der Endproduktmenge nichts bringt. Hierfür müsste man die Verfügbarkeiten aller Faktoren gleichermaßen steigern. Die Faktoreinsätze stehen also in einem komplementären Verhältnis zueinander.

 Die effizienten Faktoreinsätze zu der Herstellung der oben errechneten 20 Kuchen sind folgende:

r1  = 120;          r2 = 30;            r3 = 16;            r4 = 8

Nun sind alle Faktoren Engpassfaktoren und stellen so die effizienteste Kombination dar. Diese effiziente Produktion ohne Verschwendung von Produktionsfaktoren resultiert in einen Prozessstrahl. Dieser Prozessstrahl stellt  bei Produktionen die Outputmenge der Faktoreinsätzen dar. Im angeführten Beispiel sind lediglich zwei Faktoreinsätze (r1, r2) beschrieben, da dieser Prozessstrahl ansonsten nicht zweidimensional dargestellt werden kann. Der Punkt P zeigt eine bestimmte Mengeneinheit X, die mit einer bestimmten Kombination der Faktoren r1 und r2 hergestellt werden kann. Die bei P rechtwinklig abknickende Kurve zeigt weitere Kombinationen der Faktoren, mit denen die gleiche Mengeneinheiten X produziert werden kann. Bis auf die Kombination P sind aber alle Faktorkombinationen auf dieser Isoquante ineffizient. Im waagerechten Teil ist r1 der limitierende Faktor, im senkrechten Teil r2.[7]

Leon

Die Leontief Produktionsfunktion lässt sich im Gegensatz zu anderen Produktionsfunktionen nicht in der Form x = f (r1, r2, …, rI) darstellen, da die Faktormengen bei effizienter Produktion nicht unabhängig voneinander sind. Daher sind Grenzproduktivität und Produktionselastizität nicht definiert. Diese beruhen auf totaler Faktorvariation. Der Grenzaufwand lässt sich jedoch anhand der Faktorfunktionen          ( ri = ai x;   i = 1, 2, …, I )

ᵊ ri  /  ᵊ x  =  a;   i = 1, 2, …, I                          bestimmen.

Der Kehrwert von ai, also 1 / ai  lässt sich als Grenzproduktivität des Faktors i bewerten wenn i der einzige Engpassfaktor ist. In dem Beispiel der Kuchenproduktion wäre die Grenzproduktivität für die Zubereitungszeit:

1  /  ( ᵊ r4  /  ᵊ x )   =   1  /  a4   =   1  /  0,4   =   2,5

Dieses Ergebnis lässt sich so interpretieren, dass in jeder weiteren Stunde 2,5 weitere Kuchen hergestellt werden können. Voraussetzung dafür ist, dass die übrigen Faktoren in einem hierfür ausreichenden Ausmaße zur Verfügung stehen müssen. Aufgrund der Linearitätseigenschaft stellt die Grenzproduktivität auch den Durchschnittsertrag des jeweiligen Faktors heraus.[8]

Aufgrund der Linearitätseigenschaften zeichnet sich die Leontief Produktionsfunktion durch Linearhomogenität aus. Das bedeutet, dass sie konstante Skalenerträge hat. Der Homogenitätsgrad (Skalenfaktor) ist  gleich 1. Daher bezeichnet man die Leontief Produktionsfunktionen auch als homogen vom 1. Grad. Auf das Beispiel bezogen würde das beispielweise heißen, dass sich die Anzahl der hergestellten Kuchen verdoppelt, falls man alle  vier Faktoren (Eier, Mehl, Milch, Zubereitungszeit) jeweils verdoppeln würde.[9]

Die Limitationalität der Faktoreinsätze führt dazu, dass ihr Einsatzverhältnis nicht von den Faktorpreisen abhängt (Der Kuchen benötigt 6 Eier - Die Verwendung wird nicht variiert, auch wenn diese günstiger oder teurer werden würden). Da bei anderen Typen der Produktionsfunktionen die Möglichkeit der Substitution besteht, kann man bei Produktionen, die diese verwenden, auf Marktpreisschwankungen eingegangen werden.

 

Quellen:

Günter Fandel - Produktion I: Produktions- Und Kostentheorie S.91-95

http://www.mikrooekonomie.de/Unternehmenstheorie/Substitutionale%20Produktionsfunktionen,%20Isoquanten.htm (3.2.4)

http://de.wikipedia.org/wiki/Leontief-Produktionsfunktion

Küpper/Helber (2004): S. 64–76  http://www.controlling.bwl.uni-muenchen.de/studium/ws0910/puo_tu_ue/puo_t2_handout.pdf

http://www.luk-korbmacher.de/Schule/VWL/Unternehmen/unter08.htm

 

 


[1] vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Leontief-Produktionsfunktion

[2] vgl. Küpper/Helber (2004): S. 64–76 http://www.controlling.bwl.uni-muenchen.de/studium/ws0910/puo_tu_ue/puo_t2_handout.pdf

[3] vgl. http://www.luk-korbmacher.de/Schule/VWL/Unternehmen/unter08.htm

[4] vgl. Günter Fandel - Produktion I: Produktions- Und Kostentheorie http://books.google.de/books?id=hqog9vjrnzEC&pg=PA90&dq=Leontief+Produktionsfunktion&hl=de&ei=UufUTf20G4OM-wbC6KWPDA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCsQ6AEwAA#v=onepage&q=Leontief%20Produktionsfunktion&f=false (S. 91)

[5]vgl. Günter Fandel - Produktion I: Produktions- Und Kostentheorie http://books.google.de/books?id=hqog9vjrnzEC&pg=PA90&dq=Leontief+Produktionsfunktion&hl=de&ei=UufUTf20G4OM-wbC6KWPDA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCsQ6AEwAA#v=onepage&q=Leontief%20Produktionsfunktion&f=false (S. 92)

[6] Ebd. S.92

[7] vgl. http://www.mikrooekonomie.de/Unternehmenstheorie/Substitutionale%20Produktionsfunktionen,%20Isoquanten.htm

[8]vgl. Günter Fandel - Produktion I: Produktions- Und Kostentheorie http://books.google.de/books?id=hqog9vjrnzEC&pg=PA90&dq=Leontief+Produktionsfunktion&hl=de&ei=UufUTf20G4OM-wbC6KWPDA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCsQ6AEwAA#v=onepage&q=Leontief%20Produktionsfunktion&f=false (S. 93)

[9] vgl. http://www.mikrooekonomie.de/Unternehmenstheorie/Substitutionale%20Produktionsfunktionen,%20Isoquanten.htm (3.2.4)